En este mes se ha realizado el estudio de las sucesiones y series de variable compleja.
Como se indicó anteriormente, las sucesiones y series de variable compleja tienen propiedades similares a las sucesiones y series de variable real. Se utiliza la misma simbología de series y sucesiones de los números reales en complejos y en un inicio solo se reemplaza la variable x por la variable z o w (que son las más utilizadas en el campo numérico complejo), más adelante veremos que existen muchos criterios que distinguen ambos campos en este tema, como por ejemplo los principales series, que en el caso de variable compleja se tienen:
1.Series de Potencia.
2. Series de TaylorComo se indicó anteriormente, las sucesiones y series de variable compleja tienen propiedades similares a las sucesiones y series de variable real. Se utiliza la misma simbología de series y sucesiones de los números reales en complejos y en un inicio solo se reemplaza la variable x por la variable z o w (que son las más utilizadas en el campo numérico complejo), más adelante veremos que existen muchos criterios que distinguen ambos campos en este tema, como por ejemplo los principales series, que en el caso de variable compleja se tienen:
1.Series de Potencia.
3.Series de Laurent
Está última es la serie propia de los números complejos y su revisión es muy importante en temas
futuros y que serán analizados en el curso.
SUCESIONES
SUCESIONES
En su concepto más simple la sucesión numérica es una secuencia ordenada de números dispuestos entre si por una ley de formación, la cuál se obtiene empleando las operaciones básicas de: suma, resta, multiplicación, división, potenciación y radicación.
En variable compleja se define a una sucesión como una función de los naturales en los complejos.
Este concepto se puede entender mejor bajo el siguiente ejemplo.
Este concepto se puede entender mejor bajo el siguiente ejemplo.
Dado en el ejemplo de la parte superior, se tiene:
Si bien este tema se lo reviso al principio del curso, se hará un breve repaso de como resolver este tipo de problemas a través de los siguientes vídeos, autoria de las matemáticas.es :
Teniendo en cuenta estas leyes y la forma de resolución de límites que tienden al infinito, se procede a revisar las propiedades de las sucesiones de variable compleja:
- Sea {Zn} = Xn + iYn, para cada entero positivo "n", y sea L=a+bi, entonces:
- Ahora para las siguientes propiedades se debe considerar que {Zn} --> L y que {Wn} --> K, entonces:
Estas 5 propiedades constituyen la base para el estudio de convergencia de una sucesión (Y más adelante en el estudio de series). En el caso de variable compleja, el estudio de la convergencia no difiere mucho como se lo hacía en una variable en el campo de los reales, solo que en esta ocasión se trabajara en dos partes antes que en una; es decir, dividir el estudio del límite que tiende al infinito de la sucesión en la parte real como imaginaria. Para una mejor comprensión, se puede analizar el siguiente ejemplo:
Como se ha podido observar, si se tiene una respuesta finita o definida en ambas partes, existirá una convergencia en la sucesión, pero, basta que no exista una respuesta definida o finita en una de las partes para que no exista convergencia en la misma. Por ejemplo, se tomará el siguiente ejemplo:
El material de apoyo se incorporará al final de la unidad, ya que si se tiene el conocimiento suficiente sobre esta parte, se puede continuar hacia el siguiente tema visto en el mes y que se apoya en sucesiones de variable compleja.
La serie tiene la forma de denotarse de la siguiente manera:
SERIES
La serie sea cual sea el campo numérico en el cual se aplique, no es más que la sumatoria de los términos de una sucesión (por eso la importancia de conocer sus propiedades y resolución de convergencia). En el campo de variable compleja, su uso es muy importante en los distintos campos de la ingeniería, particularmente en la eléctrica y electrónica (Más información sobre aplicaciones de series en Ingeniería).
Hay que tomar en cuenta que n es del dominio de los naturales positivos y el cero, por lo tanto n puede
variar de acuerdo a la serie que se esté trabajando, por ejemplo consideremos el ejemplo de la sucesión estudiada:
La misma que tiene el inicio desde 0, y que se denotará en forma de serie de la siguiente manera:
Como en sucesiones, una serie de variable compleja posee propiedades, las mismas que se resumen y parten en el análisis de convergencia, y que se realiza considerando los criterios de análisis de series reales.
Propiedades de las series:
Sea una sucesión {Zn} = Xn + iYn, entonces se dan las siguientes propiedades:
La última propiedad revisada sugiere que primero se debe revisar una lista base de series convergentes y divergentes para el estudio de la convergencia de otras.
Series divergentes:
Bajo esta lista o por el análisis de límites se pueden determinar la convergencia o divergencia de algunas series, como por ejemplo:
Pero, sea el ejemplo:
En este caso no es posible determinar si la serie converge o diverge se puede concluir ya que la misma no se incluye en la lista de series convergentes o divergentes o simplemente no es posible el uso de límites, por lo tanto en este momento es necesario introducir algunos conceptos relacionados con criterios para determinar la convergencia de series.
Criterios especiales para determinar convergencia o divergencia de una serie:
1. Criterio de Cauchy o de la raíz: para ello se debe considerar los tipo de serie...
...de números reales positivos y además, se supone que K existe, por lo tanto se puede decir que:
Donde: K = 1, no se define si existe convergencia o divergencia
K > 1, la serie diverge
K < 1, la serie converge
Un ejemplo de esta serie puede ser la siguiente serie:
En este punto cabe recordar que la aplicación de los criterios revisados en el campo de los números reales es el mismo que en el campo de los complejos, por lo tanto, los ejemplos dados con "n" son los mismos que si se usaría la letra "z" (que es la más común para representar un entero).
A través de los siguientes vídeos se puede reforzar el tema visto hace un momento, donde se incluyen ejemplos diferentes al visto.
2. Criterio del cociente o de D'Alembert: para ello se debe considerar los tipo de serie...
...de números reales positivos y además, se supone que L existe, por lo tanto se puede decir que:
En este caso no es posible determinar si la serie converge o diverge se puede concluir ya que la misma no se incluye en la lista de series convergentes o divergentes o simplemente no es posible el uso de límites, por lo tanto en este momento es necesario introducir algunos conceptos relacionados con criterios para determinar la convergencia de series.
Criterios especiales para determinar convergencia o divergencia de una serie:
1. Criterio de Cauchy o de la raíz: para ello se debe considerar los tipo de serie...
...de números reales positivos y además, se supone que K existe, por lo tanto se puede decir que:
Donde: K = 1, no se define si existe convergencia o divergencia
K > 1, la serie diverge
K < 1, la serie converge
Un ejemplo de esta serie puede ser la siguiente serie:
En este punto cabe recordar que la aplicación de los criterios revisados en el campo de los números reales es el mismo que en el campo de los complejos, por lo tanto, los ejemplos dados con "n" son los mismos que si se usaría la letra "z" (que es la más común para representar un entero).
A través de los siguientes vídeos se puede reforzar el tema visto hace un momento, donde se incluyen ejemplos diferentes al visto.
2. Criterio del cociente o de D'Alembert: para ello se debe considerar los tipo de serie...
...de números reales positivos y además, se supone que L existe, por lo tanto se puede decir que:
Donde L = 1, no se define si existe convergencia o divergencia
L > 1, la serie diverge
L < 1, la serie converge
Un ejemplo de uso de este criterio puede ser en la siguiente serie:
A través de los siguientes recursos se proporciona teoría para reforzar lo definido anteriormente y ejercicios para entender de mejor forma el ejercicio dado.
Es recomendado cuando se falla en el criterio de D'Alembert, es decir cuando el resultado del límite L es igual a 1 (Cuando no se define si es una convergencia o divergencia). Por lo tanto a este criterio se le puede definir de la siguiente manera: si existe el límite...
Donde L = 1, efectivamente no se define si existe convergencia o divergencia
L > 1, la serie diverge
L < 1, la serie converge
Un ejemplo de uso de este criterio puede ser en la siguiente serie:
A través de estos recursos se refuerza un poco más la teoría y se complementa con ejercicios que permiten entender de mejor forma este criterio:
4. Criterio de Comparación: este método se basa en el siguiente análisis, sean dos series...
Este criterio varia un poco de los demás, primero porque se necesita de otras series que han sido demostradas que son convergentes y segundo, este método puede resultar un poco difícil de entender a diferencia de los otros métodos. Un ejemplo muy útil que puede servir de ayuda para entender este método es a la hora de analizar la convergencia de la siguiente serie:
Series Especiales:
1. Serie Geométrica:
2. Serie Armónica: esta serie se caracteriza por siempre divergir.
3. Serie "p":
Series de Potencias: Desde el punto de la convergencia, una serie de potencias converge uniformemente y absolutamente en cualquier región que esté contenida en el interior de su círculo de convergencia.
Ahora al entender este concepto, existen dos problemas fundamentales en este tipo de series, uno de ellos la convergencia, y el segundo el radio de la misma. Para ello se usará el criterio del cociente y consecuentemente, se apoyará, en el caso que no exista una definición de convergencia o divergencia, el criterio de Raabe.
Sea Zn diferente de cero para cada valor de n y suponiendo que:
Este criterio permite además encontrar el radio de divergencia. Para hacer más claro el concepto de radio de convergencia y poner más en evidencia la convergencia de este tipo de series, se pondrá como ejemplo la siguiente serie, en donde buscaremos su radio de convergencia (y se va a notar que primero si existe convergencia):
Este ejercicio es muy importante, ya que de aquí en adelante la búsqueda del radio permitirá determinar el alcance real de la serie. Otra regla fundamental es que si una serie diverge, entonces automáticamente el radio de la misma no existe.
A través de los siguientes recursos se puede sentar de mejor forma los conceptos antes dados:
Sobre todo en este video se da un especial énfasis a lo que es convergencia y radio de convergencia:
Una función f(z) analítica admite el desarrollo mediante una serie de Taylor compleja.
Es así como se define la propiedad más importante de esta serie: si f(z) es analítica en Zo, f tiene un desarrollo mediante serie de Taylor dado por:
Para todo Z en algún disco de centro Zo.
Esta propiedad define perfectamente a una serie de Taylor, y es más, permite difinir como se da la generación de series de Taylor. Por ejemplo sea que queremos saber la serie de Taylor de la función exponencial:
Esta propiedad define perfectamente a una serie de Taylor, y es más, permite difinir como se da la generación de series de Taylor. Por ejemplo sea que queremos saber la serie de Taylor de la función exponencial:
Como se puede observar, la definición y generación no varían de como se lo hacía en el campo de los números reales.A más de la función exponencial, otra función muy importante en este tipo de series son las funciones trigonométricas, las mismas que se presentan a continuación:
Estas series, son muy importantes más adelante para poder generar otras de igual suma importancia.
En el siguiente repaso a través de videos, se hace un repaso fundamental de la teoría, pero sobre todo se relaciona a las series de Taylor con un tipo de series que no se verán, pero siempre es bueno tenerlas en cuenta, como son las series de MacLaurin.
Y a través del siguiente recurso se hace un especial repaso exclusivo del tema:
Como se ha podido observar en las series de Taylor, una serie puede generarse a partir de una función dada; pero, una serie no siempre va a generarse automáticamente con la fórmula de Taylor, muchas veces esta fórmula dificulta la creación o generación de la serie de la función, por lo tanto es necesario conocer nuevas formas de generar series a partir de ciertos criterios.
Generación de Series en Taylor:
Por sustitución: es como indica el nombre. Se llega hasta un cierto punto donde se pueda reemplazar una parte del algoritmo a través del cambio de variable, con la intención que lleguemos a una forma conocida y se pueda con ello resolver el ejercicio.
Por derivación: parte de una serie ya conocida y que se sabe que si se la deriva encontraremos la serie que buscamos hallar.
Por división: se utiliza en fracciones cuando el numerador es menor al denominador
Por integración: en esta técnica se parte de una derivada conocida y a partir de ella, por medio de la generación de series por sustitución se crea la serie deseada.
Generación de Series en Taylor:
Por sustitución: es como indica el nombre. Se llega hasta un cierto punto donde se pueda reemplazar una parte del algoritmo a través del cambio de variable, con la intención que lleguemos a una forma conocida y se pueda con ello resolver el ejercicio.
Por derivación: parte de una serie ya conocida y que se sabe que si se la deriva encontraremos la serie que buscamos hallar.
Por división: se utiliza en fracciones cuando el numerador es menor al denominador
Por integración: en esta técnica se parte de una derivada conocida y a partir de ella, por medio de la generación de series por sustitución se crea la serie deseada.
Serie de Laurent.
Función en forma de serie de potencias que incluye términos de grado negativo donde no se extiende la serie de Taylor. Alrededor de un punto c de la forma:
Siendo la integral de gama cualquier circunferencia Z-Zo=R con R1
- La convergencia dado es uniforme en cualquier corona circular R1<= Z-Zo <= R con r1< R1 < R2 < r2, siendo R1 radio externo de la corona y R2 radio interno de la corona.
- Si f es analítica en Zo, el desarrollo de Laurent es el de Taylor.
Siendo la integral de gama cualquier circunferencia Z-Zo=R con R1
Y se adjunta recursos para reforzar el conocimiento:
Teorema del Residuo:
Singularidades: se dice que Zo es un punto singular a una singularidad de f(z), si f(z) es analítica en todo el plano complejo, excepto en Zo.
Tipos de singularidad:
1. Singularidad aislada: zo es una singularidad aislada de f(z), donde existe un d>0, tal que ||Z-Zo||=d no encierre puntos singulares distintos de Zo. Gráficamente esta situación puede ser vista como:
2. Polos: Zo es un polo de f(z), si...
Si existe limite y es diferente de cero, se dice que f(z) tiene un polo de orden "n" en Zo.
Si n=1, entonces es un polo simple:
Ejemplos:
3. Puntos de ramificación: se define un punto de ramificación a través de los siguientes ejemplos...
4. Singularidades removibles: Zo es una singularidad removible si:
Ejemplo:
5. Singularidad escencial: Zo es una singularidad escencial si no es un polo, ni una ramificación ni una singularidad removible.
Ejemplo de ello es la siguiente función:
Otro ejemplo es, demostrar que: Zo=2 es un polo de orden 3.
6. Residuo: el desarrollo de la serie de Laurent de f(z) es:
Desarrollando la serie se tiene que:
Donde el residuo es:
Pero matemáticamente se puede definir al residuo como:
7. Teorema del Residuo: si f(z) es analítica en D, excepto en Zo1, Zo2, Zo3...donde f tiene singularidades. Sea una curva cerrada y suave en D que encierra a Zo1, Zo2, ...
A continuación se presenta una aplicación de este tema:
Bibliografía
Molero, Salvador, Menarguez, Garmendia .Análisis Matemático de Ingenieria Recuperado el (24/12/2015), de haga click aquí.
Montesinos Santalucía V. .Teoría y problemas resueltos de variable compleja. Recuperado el (24/12/2015), de haga clíck aquí.
Glyn J. , Burley D. . Matemática Avanzada para Ingeniería. Recuperado el (24/12/2015), de haga clíck aquí
Bombal F. , Sanchéz González . Colección Ejercicios Resueltos. Recuperado el (24/12/2015), de haga clíck aquí
Cuartas R. . Tareas Plus. Recuperado el (24/12/2015), de haga clíck aquí
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